高中数学:幂函数图像及性质总结

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1、幂函数的概念

一般地,函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第1张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片叫做幂函数,其中是自变量,是常数;其定义域是使高中数学:幂函数图像及性质总结-第3张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片有意义的值的集合。

例1、已知幂函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第5张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,且当高中数学:幂函数图像及性质总结-第7张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第9张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片为减函数。求幂函数的解析式。

分析:正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式,一般用待定系数法,弄明白幂函数的定义是解题的关键。

解答:由于高中数学:幂函数图像及性质总结-第11张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片为幂函数,

所以高中数学:幂函数图像及性质总结-第13张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,解得高中数学:幂函数图像及性质总结-第15张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,或高中数学:幂函数图像及性质总结-第17张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

当时,高中数学:幂函数图像及性质总结-第19张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第21张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片在上为减函数;

当时,高中数学:幂函数图像及性质总结-第23张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第25张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片在上为常函数,不合题意,舍去。

故所求幂函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第27张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片的解析式为高中数学:幂函数图像及性质总结-第29张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

2、幂函数的图象和性质

图象:

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性质:

(1)所有的幂函数在上都有定义,并且图象都过点;

(2)如果高中数学:幂函数图像及性质总结-第33张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,则幂函数的图象过点高中数学:幂函数图像及性质总结-第35张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片和,并且在区间高中数学:幂函数图像及性质总结-第37张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片上是增函数;

(3)如果高中数学:幂函数图像及性质总结-第39张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,则幂函数的图象过点,并在区间上是减函数。在第一象限内,当从高中数学:幂函数图像及性质总结-第41张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片趋向于原点时,图象在高中数学:幂函数图像及性质总结-第43张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片轴右方无限地逼近轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴;

(4)当为奇数时,幂函数为奇函数;当为偶数时,幂函数为偶函数。

例2、比较高中数学:幂函数图像及性质总结-第45张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,,高中数学:幂函数图像及性质总结-第47张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片的大小。

分析:先利用幂函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第49张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片的增减性比较与的大小,再根据幂函数的图象比较与的大小。

解答:高中数学:幂函数图像及性质总结-第51张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第53张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

而在上单调递增,且

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高中数学:幂函数图像及性质总结-第57张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片。故高中数学:幂函数图像及性质总结-第59张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

例3、若函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第61张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片在区间高中数学:幂函数图像及性质总结-第63张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片上是递减函数,求实数m的取值范围。

分析:本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。

函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第65张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片是一个比较常用的幂函数,它也叫做反比例函数,其定义域是高中数学:幂函数图像及性质总结-第67张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,是一个奇函数,对称中心为(0,0),在高中数学:幂函数图像及性质总结-第69张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片和上都是递减函数。一般地,形如高中数学:幂函数图像及性质总结-第71张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片的函数都可以通过对高中数学:幂函数图像及性质总结-第73张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片的图象进行变换而得到,所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。

解答:由于

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,所以函数的图象是由幂函数

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的图象先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到的,所以其图象如图所示。

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其单调递减区间是高中数学:幂函数图像及性质总结-第81张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第83张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,而函数在区间高中数学:幂函数图像及性质总结-第85张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片上是递减函数,所以应有高中数学:幂函数图像及性质总结-第87张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

例4、若点高中数学:幂函数图像及性质总结-第89张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片在幂函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第91张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片的图象上,点高中数学:幂函数图像及性质总结-第93张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片在幂函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第95张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片的图象上,定义高中数学:幂函数图像及性质总结-第97张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,试求函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第99张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片的最大值及其单调区间。

分析:首先根据幂函数的定义求出高中数学:幂函数图像及性质总结-第101张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,然后在同一坐标系下画出函数和的图象,得出高中数学:幂函数图像及性质总结-第103张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片的函数图象,最后根据图象求出最大值和单调区间。

解答:设高中数学:幂函数图像及性质总结-第105张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,因为点在的图象上,所以高中数学:幂函数图像及性质总结-第107张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,所以高中数学:幂函数图像及性质总结-第109张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,即;

又设高中数学:幂函数图像及性质总结-第111张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,点在的图象上,所以高中数学:幂函数图像及性质总结-第113张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,所以高中数学:幂函数图像及性质总结-第115张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,即高中数学:幂函数图像及性质总结-第117张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

在同一坐标系下画出函数和的图象,如图所示,则有

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根据图象可知函数的最大值等于高中数学:幂函数图像及性质总结-第123张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,其单调递增区间是(高中数学:幂函数图像及性质总结-第125张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,-1)和(0,1);单调递减区间是高中数学:幂函数图像及性质总结-第127张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第129张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

例5、已知幂函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第131张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第133张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片是偶函数,且在上是减函数,求函数的解析式,并讨论高中数学:幂函数图像及性质总结-第135张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片的奇偶性。

分析:先根据单调性求出m的取值范围,再由奇偶性进一步确定m的取值。讨论高中数学:幂函数图像及性质总结-第137张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片的奇偶性时要注意对字母的讨论。

解答:由在上是减函数得高中数学:幂函数图像及性质总结-第139张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第141张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片。∵高中数学:幂函数图像及性质总结-第143张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第145张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片0,1。

又因为是偶函数,∴只有当高中数学:幂函数图像及性质总结-第147张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片时符合题意,故高中数学:幂函数图像及性质总结-第149张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

于是

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高中数学:幂函数图像及性质总结-第155张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第157张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片时,为非奇非偶函数;

高中数学:幂函数图像及性质总结-第159张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片且时,为奇函数;

当且高中数学:幂函数图像及性质总结-第161张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片时,为偶函数;

当且时,为既奇又偶函数。

例6、已知幂函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第163张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第165张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片上是增函数,且在定义域上是偶函数。

(1)求的值,并写出相应的函数的解析式;

(2)对于(1)中求得的函数,设函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第167张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片。问是否存在实数高中数学:幂函数图像及性质总结-第169张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,使得函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数?若存在,请求出高中数学:幂函数图像及性质总结-第171张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片的值;若不存在,请说明理由。

分析:第一问先根据单调性求出的取值范围,再由奇偶性进一步确定的取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。

解答:(1)∵幂函数高中数学:幂函数图像及性质总结-第173张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片在上是增函数,∴高中数学:幂函数图像及性质总结-第175张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第177张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

高中数学:幂函数图像及性质总结-第179张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,∴高中数学:幂函数图像及性质总结-第181张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

∵在定义域上是偶函数,∴只有当高中数学:幂函数图像及性质总结-第183张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片时符合题意,故。

(2)由,则高中数学:幂函数图像及性质总结-第185张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

假设存在实数,使得满足题设条件。令高中数学:幂函数图像及性质总结-第187张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片,则高中数学:幂函数图像及性质总结-第189张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

∵在上是减函数,∴当高中数学:幂函数图像及性质总结-第191张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片时,高中数学:幂函数图像及性质总结-第193张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片;当高中数学:幂函数图像及性质总结-第195张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片时,高中数学:幂函数图像及性质总结-第197张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

若在区间上是减函数,且在区间上是增函数,则高中数学:幂函数图像及性质总结-第199张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第201张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片上是减函数,且在高中数学:幂函数图像及性质总结-第203张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片上是增函数,此时二次函数的对称轴方程是高中数学:幂函数图像及性质总结-第205张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第207张图片高中数学:幂函数图像及性质总结-第2张图片

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故存在实数,使得函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数。

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